PARTE 3-D

                                                         Parte 3-D

Punto 8.-Sobre la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado.

IMPORTANTE: En esta parte 3-D, el símbolo que empleo para conjunto vacío es Ø.
         
         I) aX² + bX + c = 0
 
   → II) X² + (b/a)X + c/a = 0
 
  → III) X² + (b/a)X + b²/4a² - b²/4a² + c/a = 0 
  
  → IV) (X + b/2a)² - b²/4a² + c/a = 0
  
   → V) (X + b/2a)² - (b²/4a² - c/a) = (X + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a² = 0
 
  → VI) X + b/2a + [√(b² - 4ac)]/2a multiplicado por X + b/2a - [√(b² - 4ac)]/2a = 0
 
  → VII) X + [b + √(b² - 4ac)]/2a multiplicado por X + [b - √(b² - 4ac)]/2a = 0
 
Entonces X = [-b ± √(b² - 4ac)]/2a (PARA b² - 4ac diferente de cero).

Tener presente que Ø simboliza conjunto vacío.
 
Si b² - 4ac = 0 entonces X + [b + √(b² - 4ac)]/2a multiplicado por                    X + [b - √(b² - 4ac)]/2a es igual a X + (b + Ø)/2a multiplicado por X + (b - Ø)/2a, que es igual a (X + Ø) (X + Ø) . Así que, en la ecuación X + [b + √(b² - 4ac)]/2a multiplicado por X + [b - √(b² - 4ac)]/2a = 0 (PARA b² - 4ac = 0), y sobre la base de que conjunto vacío multiplicado por conjunto vacío resulta en todo número (además de conjunto vacío. Leer parte 3-C punto 6), X es todo número, ya que la multiplicación es siempre conjunto vacío multiplicado por conjunto vacío, que resulta en cero así como en todo otro número (con toda combinación de números para a, b y c tal que b² - 4ac = 0,  X + [b + √(b² - 4ac)]/2a multiplicado por              X + [b - √(b² - 4ac)]/2a no es verdaderamente equivalente a X² + (b/a)X + c/a; el primer ente matemático resulta en un número particular con X siendo un número de todo valor numérico, mientras que el segundo ente matemático resulta en un número particular con X siendo un número de solo un valor numérico o de dos valores numéricos). Así que la ecuación X + [b + √(b² - 4ac)]/2a multiplicado por    X + [b - √(b² - 4ac)]/2a = 0 (PARA b² - 4ac = 0) no debería ser util para encontrar X en la ecuación aX² + bX + c = 0 y, como ecuación general, para obtener la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado para b² - 4ac = 0. Pero es posible obtener el número X indirectamente a través de un "desvío" en el razonamiento. En el punto V, hay la ecuación (X + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a² = 0. En esa ecuación, para que X sea un número, b² - 4ac (el discriminante) tiene que ser diferente de cero. Si b² - 4ac es igual a cero, X es conjunto vacío, ya que (X + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a² es igual a (X + b/2a)², y no hay número X con el que (X + b/2a)² resulte en cero, ya que no hay multiplicación de dos números iguales el uno al otro que resulte en cero (si d es un número, d x d siempre es diferente de cero). Se sabe que, en aX² + bX + c = 0, X es un número (a menos que b² - 4ac sea menor que cero), por lo tanto, si b² - 4ac es igual a cero, (X + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a² y, por lo tanto, (X + b/2a)² no siempre son iguales a X² + (b/a)X + c/a; son diferentes cuando X² + (b/a)X + c/a es igual a cero.* Por lo tanto, para resolver la ecuación aX² + bX + c = 0 (para b² - 4ac = 0), se tiene que encontrar el número que es X en la diferencia X² + (b/a)X + c/a ≠ (X + b/2a)², que es -b/2a.

    POR LO TANTO, si b² - 4ac ≠ 0, X = [-b ± √(b² - 4ac)]/2a, y si b² - 4ac = 0,       X = -b/2a.
                 
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 * Nótese que X² + (b/a)X + b²/4a² - b²/4a² + c/a, que es equivalente a                    X² + (b/a)X + c/a + b²/4a² - b²/4a², no siempre es igual a X² + (b/a)X + c/a , ya que, cuando b es igual a cero, los dos términos b²/4a² son iguales a cero multiplicado por cero, y los dos números de cada una de las infinita combinaciones de dos números en los que uno de los dos términos resulta (relación uno a uno) no siempre son iguales el uno al otro. Por ejemplo, para b = 0,   b²/4a² - b²/4a², que es igual a 0 x 0 - 0 x 0, es igual a 5 - 5,   (-3) - (-3),   0.73 - 0.73, etc, pero también es igual a 3 - 5,   -103 - 42,   √3 - 20/7, etc.
  Creo que el caso de la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado puede parecer controversial, ya que ella, la fórmula, ayuda a resolver ecuaciones de ese tipo en casi todos los casos en el contexto de la Matemática convencional, pero nótese que, incluso en ese contexto, la fórmula no es util cuando a es igual a cero a menos que b y c también sean iguales a cero. Así que la fórmula                        X = [-b ± √(b² - 4ac)]/2a no es verdaderamente una fórmula general, incluso en el contexto de la Matemática convencional. 
  Expresaré otra consideración sobre la fórmula en el contexto de aquello que, para mí, es una verdad; que cero multiplicado por cero resulta en todo número excepto cero. Nótese que para a diferente de cero, b igual a cero y c diferente de cero,      b² - 4ac es igual al conjunto de todos los números, y para a diferente de cero, b igual a cero y c igual a cero, b² - 4ac es igual al conjunto de todos los números EXCEPTO cero. En la ecuación aX² + bX + c = 0, para a y c diferentes de cero, o a o c menor que cero y b igual a cero, X es igual a la raíz cuadrada de -c/a (para a y c del mismo signo, lo que hay no es una ecuación, pues X no es número alguno). Para a diferente de cero, b igual a cero y c igual a cero, X es igual a cero, ya que aX² + bX + c es igual a a x 0 x 0 + 0 x 0 + 0, que es igual a 0 x 0 + 0 x 0, lo cual resulta en todo número, incluido cero (por lo tanto, como un todo, es igual al conjunto de todos los números). Para a, b y c iguales a cero, X es igual a todo número excepto cero, ya que  aX² + bX + c es igual a 0 x X² + 0 x X + 0, que es igual a  0 x X, y cero por todo número, como multiplicador, diferente de cero resulta en cero. Para a igual a cero, b igual a cero, y c diferente de cero, X es igual a cero, pues aX² + bX + c es igual a 0 x X + c, lo cual resulta en todo número, incluido cero (como un todo, es igual al conjunto de todos los números). Para a igual a cero, y b y c diferentes de cero, X es igual a -c/b, ya que aX² + bX + c es igual a bX + c, y siendo X igual a -c/b,  bX + c es igual a b(-c/b) + c que es igual a -c + c. En todos estos casos, X es parcialmente igual a [-b ± √(b² - 4ac)]/2a, algo similar a cuando se tiene Y = 0/0, siendo Y un solo número; en este caso, Y es igual a números de un solo valor de entre los infinitos valores numéricos que hay entre todos los números en los que 0/0 resulta. Conviene hacer notar, para lo dicho en el punto inmediatamente anterior, que, en el contexto de lo expuesto en el presente escrito, todo número diferente de cero tiene a cero y a conjunto vacío como raíces cuadradas; así, por ejemplo, el número 4 tiene como raíces cuadradas a los ya sabidos 2 y -2, y a 0 y Ø.