Parte 1
¿Cero por cero resulta en cero?? ¿AUSENCIA DE AUSENCIA RESULTA EN AUSENCIA?? Por supuesto que NO!! Yo tengo la convicción de que cero por cero resulta en todo número EXCEPTO cero. Ausencia de ausencia resulta en existencia, que es de lo que las unidades y las fracciones están constituidas. CERO MULTIPLICADO POR CERO ES ALGO SIMILAR A UNA DOBLE NEGACIÓN. Cero por cero resulta en todo número EXCEPTO cero y, por lo tanto, es igual al conjunto de todos los números EXCEPTO cero.
Considerar que cero por cero resulte en cero puede que normalmente sea útil, A PESAR DE SER TAL CONSIDERACIÓN UNA FALSEDAD (leer parte 3-A).
Nota: Yo considero que los llamados 'números imaginarios' no son números o, por lo menos, no son números que no sean cero (trato sobre 'números imaginarios' en la parte 3-C).
martes, 17 de junio de 2014
Muy Importante.
Muy Importante
1) He hecho el arreglo de imagen en pantalla para esta última edición usando un navegador Google Chrome, con zoom al 100% y al 125% y en base a la imagen en una pantalla de no menos de diecisiete pulgadas. Doy por hecho que hay navegadores con los que, la imagen, no se ve como se debería ver, apareciendo expresiones matemáticas cortadas inconvenientemente, y no descarto, entre esos navegadores, a Google Chrome.
2) Un argumento que muchos podrían dar de arranque en contra de este trabajo es el de que si cero por cero resultara en todo número excepto cero entonces cinco sería igual a menos siete, treinta sería igual a menos un tercio, etc, etc. No es que cinco, menos siete, treinta y menos un tercio sean números iguales entre sí (obviamente no lo son, al menos en el contexto de como normalmente se entiende una igualdad numérica), sino que cero por cero no necesariamente es igual a cero por cero; cero por cero resultando en cinco no es lo mismo que cero por cero resultando en menos un tercio. Usando el recurso matemático del apóstrofe, se puede expresar, para el caso de cero por cero resultando en cinco, (0 x 0)' = 5, y, para el caso de cero por cero resultando en menos un tercio, (0 x 0)'' = -1/3. (0 x 0)' ≠ (0 x 0)''. Algo parecido ocurre con cero entre cero (cuya igualdad se suele expresar 0 ÷ 0 = indeterminado), con cero sobre cero y con conjunto vacío por conjunto vacío (leyendo mi escrito, podrán enterarse del porqué).
3) Excepto en la explicación indicada por **** al final de la parte 2, he hecho mención explícita de conjunto de números solo cuando he expresado un conjunto de dos o más números (la expresión 'conjunto vacío' y el símbolo '{ }', para nada de números, incluido cero). Así que, de acuerdo con esto, he escrito, por ejemplo, { } x 0 y (conjunto de todos los números excepto cero) x 0 = 0 donde quizá las expresiones matemáticas formales o más apropiadas sean { } x {0} y (conjunto de todos los números excepto cero) x {0} = {0}, respectivamente. Creo que esa forma de expresión resulta más conveniente, pues me parece que, aunque quizá sea menos apropiada, hace más fácil la comprensión para una gran cantidad de personas o, al menos, es más agradable a la vista. Téngase en mente, por ejemplo, que, en el contexto del presente trabajo, (para a, b y c diferentes de cero) {a, b, c} x 0 = 0 donde quizá una expresión formal del razonamiento sea {a, b, c} x {0} = {a x 0, b x 0, c x 0} = {0}. Entendido esto, no debería haber motivo bueno alguno para interpretaciones erróneas, para mal entendimiento en lo que corresponde a este punto.
4) A partir de la parte 3-C, trato explícitamente con potencias y raíces. Debido a que, para hacer el presente escrito, he procurado ayudarme en lo posible solo con el teclado tal cual, voy informando de lo siguiente: ^ es el símbolo de elevación a potencia. Así, a elevado a la b se escribe a ^ b; dos al cubo (o dos a la potencia tres), 2 ^ 3; nueve a la un medio, 9 ^ (1/2); etc. Expreso elevación a potencia de ese modo solo en la parte 3-C; en la parte 3-D, expreso elevación a potencia como normalmente se hace.
Como símbolos de raíces, he empleado '√', '∛', '∜', pero, para el caso de raíz sexta, '⁶√' (el índice 6 al lado del signo de raíz). Parece que hay problema para ver algunos de estos símbolos en algunas computadoras, tablets, teléfonos inteligentes o con algunos navegadores.
5) MUY IMPORTANTE: En este escrito, he expresado igualdades particulares (como 0 ^ (1/3) = 0), igualdades generales e igualdades casi generales (como a ÷ b = a/b y a x 0 = a - a respectivamente), e igualdades de pluralidad o de entes matemáticos de resultado plurivalente como un todo (como 0 x 0 = conjunto de todos los números excepto cero, 0 ÷ 0 = conjunto de todos los números excepto cero, etc), y algo que llamo 'igualdad parcial' (expresión que parece que sí es usada en Matemática convencional, aunque no sé si se suela emplear para casos como aquellos para los que yo la he usado).
1) He hecho el arreglo de imagen en pantalla para esta última edición usando un navegador Google Chrome, con zoom al 100% y al 125% y en base a la imagen en una pantalla de no menos de diecisiete pulgadas. Doy por hecho que hay navegadores con los que, la imagen, no se ve como se debería ver, apareciendo expresiones matemáticas cortadas inconvenientemente, y no descarto, entre esos navegadores, a Google Chrome.
2) Un argumento que muchos podrían dar de arranque en contra de este trabajo es el de que si cero por cero resultara en todo número excepto cero entonces cinco sería igual a menos siete, treinta sería igual a menos un tercio, etc, etc. No es que cinco, menos siete, treinta y menos un tercio sean números iguales entre sí (obviamente no lo son, al menos en el contexto de como normalmente se entiende una igualdad numérica), sino que cero por cero no necesariamente es igual a cero por cero; cero por cero resultando en cinco no es lo mismo que cero por cero resultando en menos un tercio. Usando el recurso matemático del apóstrofe, se puede expresar, para el caso de cero por cero resultando en cinco, (0 x 0)' = 5, y, para el caso de cero por cero resultando en menos un tercio, (0 x 0)'' = -1/3. (0 x 0)' ≠ (0 x 0)''. Algo parecido ocurre con cero entre cero (cuya igualdad se suele expresar 0 ÷ 0 = indeterminado), con cero sobre cero y con conjunto vacío por conjunto vacío (leyendo mi escrito, podrán enterarse del porqué).
3) Excepto en la explicación indicada por **** al final de la parte 2, he hecho mención explícita de conjunto de números solo cuando he expresado un conjunto de dos o más números (la expresión 'conjunto vacío' y el símbolo '{ }', para nada de números, incluido cero). Así que, de acuerdo con esto, he escrito, por ejemplo, { } x 0 y (conjunto de todos los números excepto cero) x 0 = 0 donde quizá las expresiones matemáticas formales o más apropiadas sean { } x {0} y (conjunto de todos los números excepto cero) x {0} = {0}, respectivamente. Creo que esa forma de expresión resulta más conveniente, pues me parece que, aunque quizá sea menos apropiada, hace más fácil la comprensión para una gran cantidad de personas o, al menos, es más agradable a la vista. Téngase en mente, por ejemplo, que, en el contexto del presente trabajo, (para a, b y c diferentes de cero) {a, b, c} x 0 = 0 donde quizá una expresión formal del razonamiento sea {a, b, c} x {0} = {a x 0, b x 0, c x 0} = {0}. Entendido esto, no debería haber motivo bueno alguno para interpretaciones erróneas, para mal entendimiento en lo que corresponde a este punto.
4) A partir de la parte 3-C, trato explícitamente con potencias y raíces. Debido a que, para hacer el presente escrito, he procurado ayudarme en lo posible solo con el teclado tal cual, voy informando de lo siguiente: ^ es el símbolo de elevación a potencia. Así, a elevado a la b se escribe a ^ b; dos al cubo (o dos a la potencia tres), 2 ^ 3; nueve a la un medio, 9 ^ (1/2); etc. Expreso elevación a potencia de ese modo solo en la parte 3-C; en la parte 3-D, expreso elevación a potencia como normalmente se hace.
Como símbolos de raíces, he empleado '√', '∛', '∜', pero, para el caso de raíz sexta, '⁶√' (el índice 6 al lado del signo de raíz). Parece que hay problema para ver algunos de estos símbolos en algunas computadoras, tablets, teléfonos inteligentes o con algunos navegadores.
5) MUY IMPORTANTE: En este escrito, he expresado igualdades particulares (como 0 ^ (1/3) = 0), igualdades generales e igualdades casi generales (como a ÷ b = a/b y a x 0 = a - a respectivamente), e igualdades de pluralidad o de entes matemáticos de resultado plurivalente como un todo (como 0 x 0 = conjunto de todos los números excepto cero, 0 ÷ 0 = conjunto de todos los números excepto cero, etc), y algo que llamo 'igualdad parcial' (expresión que parece que sí es usada en Matemática convencional, aunque no sé si se suela emplear para casos como aquellos para los que yo la he usado).
6) He procurado emplear un lenguaje lo más lógico posible y, por tal motivo, no he expresado doble negación cuando he querido transmitir una idea fundamentalmente negativa (a diferencia de como sí se suele hacer en castellano). Así, por ejemplo, si hubiera respondido sinceramente a la pregunta "¿Cuántos delfines posees?" (siendo mi caso como el de una inmensa mayoría de las personas), habría sido con "Poseo ningún delfín" o "No poseo delfín alguno" en lugar del más común "No poseo ningún delfín"; puede que las dos primeras formas "suenen mal", muy en especial la primera (leer primera reseña en la parte 3-B, bajo la linea segmentada), pero sí son lógicas; la tercera forma, a menos que hubiera querido dar a entender que sí poseía al menos un delfín, no lo es (si NINGÚN delfín yo NO poseyera entonces SÍ poseería al menos un delfín, lo cual no sería cierto).
En la respuesta al problema de la parte 3-B, he reemplazado la expresión 'hay' por 'existe', y he considerado conveniente decir "...existe ausencia total de..." en lugar de "...no existe...".
En la respuesta al problema de la parte 3-B, he reemplazado la expresión 'hay' por 'existe', y he considerado conveniente decir "...existe ausencia total de..." en lugar de "...no existe...".
PARTE 3-B
Parte 3-B
Punto 3-A.- Caso de a ÷ 0 (para a diferente de cero)
D ÷ d = q entonces d x q = D. Pero, en Matemática convencional, a ÷ 0 es igual a ningún número (a ÷ 0 = conjunto vacío), ya que se considera que cero multiplicado por cualquier número (incluido cero) resulta en cero y, por lo tanto, no resulta en a; en otras palabras, se considera que no existe número alguno q por el que multiplicando cero (d), la multiplicación resulte en a. Pero, si se acepta que cero por cero resulta en todo número excepto cero, se puede ver que cero por cero sí resulta en a. 0 x 0 = a (d x q = D), por lo tanto a ÷ 0 = 0.
Razonamiento: Ausencia no hace existencia y tampoco es siquiera parte de esta, así que ausencia no está contenida en existencia. Existencia no contiene ausencia; a no contiene cero y tampoco a parte de este, que también es cero. Por lo tanto, el número de veces que ausencia (cero) está contenido en existencia (a) es cero; a ÷ 0 = 0.
Problema
¿Entre cuántas personas se distribuye doce caramelos, dando cero caramelos a cada persona??*
El procedimiento para resolver el problema nos lleva al ente matemático 12 ÷ 0, que es igual al número de personas entre las que se distribuye los doce caramelos. En Matemática convencional,12 ÷ 0 es igual a conjunto vacío, por la razón ya expresada al comienzo de este Punto 3. Hay gente que consideraría que la respuesta al problema es que el número de personas entre las que se distribuye los doce caramelos es infinito, porque, sin importar que tan grande sea el número de personas a quienes se dé cero caramelos a cada una, siempre quedan caramelos por distribuir. PERO, si se acepta que cero por cero resulta en todo número excepto cero, se debería considerar 12 ÷ 0 igual cero (12 ÷ 0 = 0), porque ni cero ni parte de él, que también es cero, están contenidos en doce; ni cero ni parte de él constituyen doce, y, basado en esto, y aunque pudiera parecer extraño, la respuesta al problema es que los doce caramelos son distribuidos entre cero personas, lo cual es cierto, ya que, si se da cero caramelos a cada persona, existe ausencia total de distribución de los doce caramelos y, por lo tanto, la cantidad de personas entre las que se distribuye los doce caramelos es cero o, en otras palabras, existe ausencia total de personas entre las que se distribuye los doce caramelos (ya que existe ausencia total de distribución de estos).
Nótese que, si se considera que el número de personas entre las que se distribuye los doce caramelos es igual a conjunto vacío (basado en el resultado de 12 ÷ 0 de la Matemática convencional; 12 ÷ 0 = conjunto vacío), se está implicando que ni existe distribución ni existe ausencia de ella, lo cual es ilógico.
Punto 3-B.- En Matemática convencional, a/0 (a diferente de cero) es ningún número, así que se considera (o cabe esperar que se considere) que a/0 es igual a conjunto vacío. Pero, como se vio en el razonamiento que ya se hizo sobre 0/0, denominador cero implica "partes" iguales a cero, y a/0 está constituido por a de aquellas "partes". a/0 es igual, por lo tanto, a cero multiplicado por a (cero multiplicado por un número diferente de cero), que es igual a cero.
a/0 = 0 (para a diferente de cero)
-----------------------------------------------
* Quizá haya algunas personas que consideren que una expresión del tipo de 'dar cero caramelos' sea contradictoria. Para mí, hay dos niveles de algo; el del algo que tiene como opuesto a la nada, y un nivel superior de algo, el del algo que involucra a la nada (la nada también es algo, como todo lo que es parte de la realidad y todo lo que se puede tener en mente). Ejemplo: En "dar nada" y en "dar algo", hay un algo implícito en el dar. En "dar nada", el nivel del algo implícito en dar es el superior, el del algo que involucra a la nada y no la tiene como opuesto, razón por la cual 'dar nada' no es una expresión contradictoria. Una argumentación que también considero válida es la de que el algo implícito solo está en lo expresado por verbos intransitivos, que, en lo expresado por 'dar algo', el único algo (en el contexto de lo aquí tratado) es lo expresado explícitamente por el objeto directo 'algo', y que no hay un algo implícito en lo expresado por el 'dar' de las expresiones 'dar algo' y 'dar nada' (en esta segunda argumentación, el algo es el de nivel inferior; el que tiene como opuesto a la nada, y el que lo implícito en lo expresado por 'dar' como verbo intransitivo sea algo y que no sea la nada sería por conveniencia). Así pues, en el contexto de lo segundamente argumentado, tampoco hay contradicción en la expresión 'dar nada', "dar algo" es igual a "dar", y "dar nada" es igual a "no dar".
** Quizá alguien argumente, tratando de defender el que cero por cero resulte en cero (algo que yo considero falso), que los casos de las "fracciones" 0/0 y a/0 (para a diferente de cero), casos de "fracciones" cuyo denominador es cero, son muy especiales y, en ellos, el producto de una "parte" por el denominador cero resulta en cero; no resulta en uno. Pero, si eso que argumentara fuera verdad, todos los valores numéricos, incluido el del cero (ya que, aquí, se tiene como supuesto el que cero por cero resulta en cero), estarían distribuidos entre todas las posibles "partes" de esas dos "fracciones", 0/0 (que sería igual a p x 0) sería igual a cero, y a/0 (que sería igual a p x a) sería igual al conjunto de todos los números, incluido cero; algo muy diferente de lo propuesto al respecto por la Matemática convencional, 0/0 sería diferente de 0 ÷ 0 y a/0 sería diferente de a ÷ 0. Quizá alguien diga que, en estos casos especiales, una "parte" (p) por el denominador cero no resulta en número alguno. Si eso fuera verdad, en estos casos, una "parte" no sería número alguno; sería, pues, conjunto vacío, y ambos, 0/0 y a/0, serían iguales a conjunto vacío, por lo que 0/0 sería diferente de aquello a lo que la Matemática convencional dice que esa "fracción" equivale y, por lo tanto, sería diferente de 0 ÷ 0.
a/0 = 0 (para a diferente de cero)
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* Quizá haya algunas personas que consideren que una expresión del tipo de 'dar cero caramelos' sea contradictoria. Para mí, hay dos niveles de algo; el del algo que tiene como opuesto a la nada, y un nivel superior de algo, el del algo que involucra a la nada (la nada también es algo, como todo lo que es parte de la realidad y todo lo que se puede tener en mente). Ejemplo: En "dar nada" y en "dar algo", hay un algo implícito en el dar. En "dar nada", el nivel del algo implícito en dar es el superior, el del algo que involucra a la nada y no la tiene como opuesto, razón por la cual 'dar nada' no es una expresión contradictoria. Una argumentación que también considero válida es la de que el algo implícito solo está en lo expresado por verbos intransitivos, que, en lo expresado por 'dar algo', el único algo (en el contexto de lo aquí tratado) es lo expresado explícitamente por el objeto directo 'algo', y que no hay un algo implícito en lo expresado por el 'dar' de las expresiones 'dar algo' y 'dar nada' (en esta segunda argumentación, el algo es el de nivel inferior; el que tiene como opuesto a la nada, y el que lo implícito en lo expresado por 'dar' como verbo intransitivo sea algo y que no sea la nada sería por conveniencia). Así pues, en el contexto de lo segundamente argumentado, tampoco hay contradicción en la expresión 'dar nada', "dar algo" es igual a "dar", y "dar nada" es igual a "no dar".
** Quizá alguien argumente, tratando de defender el que cero por cero resulte en cero (algo que yo considero falso), que los casos de las "fracciones" 0/0 y a/0 (para a diferente de cero), casos de "fracciones" cuyo denominador es cero, son muy especiales y, en ellos, el producto de una "parte" por el denominador cero resulta en cero; no resulta en uno. Pero, si eso que argumentara fuera verdad, todos los valores numéricos, incluido el del cero (ya que, aquí, se tiene como supuesto el que cero por cero resulta en cero), estarían distribuidos entre todas las posibles "partes" de esas dos "fracciones", 0/0 (que sería igual a p x 0) sería igual a cero, y a/0 (que sería igual a p x a) sería igual al conjunto de todos los números, incluido cero; algo muy diferente de lo propuesto al respecto por la Matemática convencional, 0/0 sería diferente de 0 ÷ 0 y a/0 sería diferente de a ÷ 0. Quizá alguien diga que, en estos casos especiales, una "parte" (p) por el denominador cero no resulta en número alguno. Si eso fuera verdad, en estos casos, una "parte" no sería número alguno; sería, pues, conjunto vacío, y ambos, 0/0 y a/0, serían iguales a conjunto vacío, por lo que 0/0 sería diferente de aquello a lo que la Matemática convencional dice que esa "fracción" equivale y, por lo tanto, sería diferente de 0 ÷ 0.
PARTE 2
Parte 2
Razonamiento Sustentatorio
Se suele considerar como si 0 ÷ 0 resultara en un número indeterminado (0 ÷ 0 = ind).* Pero, en Matemática convencional, 0 ÷ 0 debería ser igual a todo número, incluido cero**, ya que se supone que cero multiplicado por cualquier número resulta en cero (a x b = c, por lo tanto c ÷ a = b) o, en otras palabras, cero estaría contenido en cero cualquier cantidad de veces. Por lo tanto, EN MATEMÁTICA CONVENCIONAL, aunque se considera como si el resultado de 0 ÷ 0 fuera indeterminado, 0 ÷ 0, como un todo, debería ser igual al conjunto de todos los números (incluido cero). Esto se debe tener presente para lo siguiente.
Se considera que la "fracción" 0/0 es igual a 0 ÷ 0 (en general, a ÷ b = a/b), y, puesto que, en Matemática convencional, se debería considerar como si 0 ÷ 0 fuera igual a todo número, incluido cero, también se debería considerar, en Matemática convencional, como si 0/0 fuera números entre los que estarían distribuidos todos los valores de número, incluido el de cero (en Matemática convencional, ambos entes matemáticos, como un todo, deberían ser considerados iguales al conjunto de todos los números, incluido cero).
a) Pero, si se analiza 0/0 sobre el supuesto de que cero por cero resulte en cero, se llega a la conclusión falsa de que 0/0 es ningún número. 0/0 equivaldría, entonces, a conjunto vacío (nada de números, incluido cero). Así que 0/0 sería opuesto a 0 ÷ 0, que equivaldría al conjunto de todos los números (incluido cero). En lo expresado de un modo general por 'a/b', el denominador (b) es un número de "partes" iguales que constituyen una unidad (la totalidad de las "partes" en número de b constituye una unidad y es igual a ella). Una "parte" (p) multiplicada por b resulta en uno. Pero, si el denominador (b) es cero, ¿a qué puede ser igual una "parte" (p)??, si se supone que todo número multiplicado por cero resulta en cero. En este caso, la "parte" sería ningún número (p = conjunto vacío). Si a = 0 y b = 0 entonces a/b es 0/0. El número de "partes" que constituiría 0/0, que es el numerador (a), es cero, así que 0/0 SERÍA igual a conjunto vacío multiplicado por cero (p x a), que resulta en conjunto vacío.**** (leer también la segunda reseña en la parte 3-B, bajo la línea segmentada) Por lo tanto, si cero por cero resultara en cero, 0 ÷ 0 no sería igual a la "fracción" 0/0 (0 ÷ 0 diferente de 0/0), y a ÷ b = a/b no sería una igualdad general.
b) PERO, si se considera que cero por cero resulta en todo número excepto cero, sí se puede demostrar que 0 ÷ 0 es igual a la "fracción" 0/0. El ente matemático 0 ÷ 0 es igual a todo número excepto cero, porque el divisor cero multiplicado por el cociente, cociente que es todo número de un grupo infinito de números entre los que están distribuidos todos los valores de número excepto el de cero, resulta en el dividendo cero (d x q = D entonces D ÷ d = q).*** La "fracción" 0/0 es cero de cero "partes" que constituyen una unidad, "partes" (p) que son iguales a cero, porque cero (p) multiplicado por cero (b), al resultar en todo número excepto cero, sí resulta en uno (además de en otros infinito números diferentes de cero). Así que la "fracción" 0/0 es igual a cero por cero (p x a), que resulta en todo número excepto cero. Ambos, 0 ÷ 0 y la "fracción" 0/0, son iguales al conjunto de todos los números excepto cero. POR LO TANTO, 0 ÷ 0 = 0/0.
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Leer Parte 3-B
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* Lo indeterminado aquí no es 0 ÷ 0, sino aquel número en particular que es igual a 0 ÷ 0 en el caso en particular en que 0 ÷ 0 es igual a aquel número, número del que no se tiene mayor información. Si X es un número en particular, la ecuación X = 0 ÷ 0 es una igualdad particular, y X es igual a todos los números de un mismo valor iguales al número que X es y a los que 0 ÷ 0 (para este caso en particular) es igual. En este caso, si no se cuenta con información adicional sobre el número X entonces X = indeterminado.
*** Si 0 x 0 resulta en todo número excepto cero, 0 ÷ 0 es igual a todo número excepto cero, ya que el divisor cero multiplicado solo por números cociente diferentes de cero resulta en el dividendo cero (d x q = D entonces D ÷ d = q). Para cada conjunto de veces cero que 0 ÷ 0 sea, 0 ÷ 0 es igual a todo número de un mismo valor numérico al que el conjunto de veces cero es igual. 0 ÷ 0 no es nada de veces cero, ya que cero sí está contenido en cero y, por lo tanto, no está contenido cero veces en cero, por lo que 0 ÷ 0 no es igual a cero.
**** Existencia es existencia de algo, y ausencia es ausencia de algo. Todo número es igual a números iguales a él. Un número igual a ningún número es una contradicción, pues ello implica que ese número no es igual a sí mismo, implica que tiene un valor numérico que no lo tiene consigo mismo. Conjunto vacío multiplicado por cero ({ } x {0}, ausencia de números iguales a ningún número) es ausencia de una contradicción; no es ausencia de algo, sino de nada. No existe en ese ente matemático número alguno que sea algo con respecto a lo cual exista ausencia, por lo que el ente matemático no resulta en número alguno. { } x {0} = { }.
PARTE 3-A
Algunas consecuencias y consideraciones
Parte 3-A
Punto 1-A.- Caso de multiplicaciones del mismo tipo que 20 x 10
El procedimiento regular es tal como se muestra aquí:
20
x 10
00
20
200
que es una simplificación de esto:
(20 + 0)
x(10 + 0)
(0x0) _ _ _ _ _ _ 0
(20x0) _ _ _ _ _ 00
(0x10) _ _ _ _ _ _ 0
(20x10)_ _ _ _ _ 200
200
Considerar que cero por cero resulte en cero no impide obtener el resultado buscado, AUNQUE ESA CONSIDERACIÓN SEA LA DE UNA FALSEDAD. Esto último nos lleva al asunto de la consideración de excepciones donde no se suele considerar que las haya. El teorema (a + b) x (c + d) = ac + bc + ad + bd, TEOREMA AL QUE EL PROCEDIMIENTO MULTIPLICATIVO NORMALMENTE ESTÁ RELACIONADO, es un ejemplo. El teorema es válido EXCEPTO para (a = 0 o b = 0) y (c = 0 o d = 0) y para, siendo a, b, c, y d diferentes de cero, a = -b y c = -d.
Para la multiplicación 20 x 10, se debería proceder solo así: 20 x 10 = 200, igualdad que viene de (20 + 0) x (10 + 0) = 20 x 10 + 0 x 10 + 20 x 0 = 200 + 0 + 0 = 200. En general, (a + 0) x (c + 0) es igual a a x c + 0 x c + a x 0 (o a x c + 0 x c + a x 0 + 0), PERO NO ES IGUAL A a x c + 0 x c + a x 0 + 0 x 0 (para a diferente de cero y c diferente de cero).
Punto 1-B.- Otro caso importante que me gustaría mencionar aquí es el de a x 0 = a - a. En esta igualdad, a es todo número excepto cero, ya que 0 x 0 resulta en todo número excepto cero mientras que 0 - 0 resulta en cero.
Punto 2.- LA MATEMÁTICA ES UN INSTRUMENTO DE LAS CIENCIAS FÁCTICAS (QUÍMICA, FÍSICA, ETC), PERO NO ESTÁ CONDICIONADA POR LO QUE OCURRE CON LO QUE ES OBJETO DE ESTUDIO EN ESTAS. Consideremos tres "magnitudes", A, B y C, relacionadas entre ellas CASI siempre así: A = a, B = b, C = c, y a x b = c. Igual y lo mismo no son lo mismo. A no es lo mismo que a, B no es lo mismo que b, y C no es lo mismo que c. A, B y C son "magnitudes" mientras que a es un multiplicando, b es un multiplicador y c es un producto. NADA debería decir, en un caso en el que A, B y C sean iguales a un número tan especial como es cero (A = 0, B = 0, y C = 0), que a, b y c también tengan que ser iguales a cero.
Considerar que cero por cero resulte en cero puede que normalmente sea muy util, A PESAR DE SER LA CONSIDERACIÓN DE UNA FALSEDAD.
PARTE 3-C
Parte 3-C
Punto 4.- Caso de Raíces
Una consecuencia de que cero por cero no resulte en cero es la de que no hay número alguno que sea raíz cuadrada de cero, ya que no hay número alguno con el que, multiplicado ese número por un número igual a él, la multiplicación resulte en cero. Cero no tiene número alguno como raíz cuadrada, como raíz cuarta, como raíz sexta, etc, pero sí tiene un número como raíz cúbica, como raíz quinta, como raíz séptima, etc, y ese número es cero, ya que una multiplicación de una cantidad impar de factores cero sí resulta en cero, mientras que una multiplicación de una cantidad par de factores cero resulta en todo número excepto cero.
0 x 0 x 0 x 0 = 0 ^ 4 = conjunto de todos los números excepto cero.
0 x 0 x 0 = 0 ^ 3 = 0
(Como ya se ha dicho en 'Muy Importante', ^ es el signo de elevación a potencia. La expresión a ^ b corresponde a a elevado a la b).
O
0 x 0 x 0 x 0 = (0 x 0 x 0) x 0 = 0 x 0 = conjunto de todos los números excepto cero.
0 x 0 x 0 = (0 x 0) x 0 = (conjunto de todos los números excepto cero) x 0 = 0
Punto 5.- Otra excepción importante
(a ^ b) ^ c = a ^ (b x c) (para b o c diferente de cero).
(a ^ 0) ^ 0 = a ^ 0 pero (a ^ 0) ^ 0 es diferente de a ^ (0 x 0).
(a ^ b) ^ c = a ^ (b x c) (para b o c diferente de cero).
(a ^ 0) ^ 0 = a ^ 0 pero (a ^ 0) ^ 0 es diferente de a ^ (0 x 0).
Punto 6.- Razonamiento
0 ^ (1/3) = ∛0 = 0
0 ^ (2/3) = [0 ^ (1/3)] x [0 ^ (1/3)] = 0 x 0 = conjunto de todos los números excepto cero.
1/3 = 2/6
2/3 = 4/6 = 1/3 + 2/6
así que:
a) 0 ^ (1/3) = 0 ^ (2/6) = 0 ^ (1/6) x 0 ^ (1/6) = ⁶√0 x ⁶√0. Como ya se ha visto, no hay número alguno que sea raíz cuadrada, raíz cuarta, raíz sexta, etc, de cero. 0 ^ (1/6) = ⁶√0 = conjunto vacio. 0 ^ (1/3) = 0 ^ (2/6) = 0 ^ (1/6) x 0 ^ (1/6) = ⁶√0 x ⁶√0 = conjunto vacío multiplicado por conjunto vacío. ( { } símbolo de conjunto vacío) Entonces 0 ^ (1/3) = { } x { }.
0 ^ (1/3) = 0.
Entonces { } x { } = 0.
b) IMPORTANTE: Un ente matemático del tipo a ^ (b/c) x d es una multiplicación cuyos factores son una potencia correspondiente a a ^ (b/c) y un número correspondiente a d. Un ente matemático del tipo a ^ (b/c) x d ^ (e/f) es una multiplicación cuyos factores son una potencia correspondiente a a ^ (b/c) y una potencia correspondiente a d ^ (e/f). 0 ^ (2/3) = 0 ^ (1/3) x 0 ^ (1/3) = 0 ^ (2/6) x 0 ^ (1/3) = 0 ^ (1/6) x 0 ^ (1/6) x 0 ^ (1/3) = ⁶√0 x ⁶√0 x ∛0 = ⁶√0 x (⁶√0 x ∛0) = { } x ( { } x 0) = { } x { }.
Entonces 0 ^ (2/3) = { } x { }.0 ^ (1/3) = ∛0 = 0
0 ^ (2/3) = [0 ^ (1/3)] x [0 ^ (1/3)] = 0 x 0 = conjunto de todos los números excepto cero.
1/3 = 2/6
2/3 = 4/6 = 1/3 + 2/6
así que:
a) 0 ^ (1/3) = 0 ^ (2/6) = 0 ^ (1/6) x 0 ^ (1/6) = ⁶√0 x ⁶√0. Como ya se ha visto, no hay número alguno que sea raíz cuadrada, raíz cuarta, raíz sexta, etc, de cero. 0 ^ (1/6) = ⁶√0 = conjunto vacio. 0 ^ (1/3) = 0 ^ (2/6) = 0 ^ (1/6) x 0 ^ (1/6) = ⁶√0 x ⁶√0 = conjunto vacío multiplicado por conjunto vacío. ( { } símbolo de conjunto vacío) Entonces 0 ^ (1/3) = { } x { }.
0 ^ (1/3) = 0.
Entonces { } x { } = 0.
b) IMPORTANTE: Un ente matemático del tipo a ^ (b/c) x d es una multiplicación cuyos factores son una potencia correspondiente a a ^ (b/c) y un número correspondiente a d. Un ente matemático del tipo a ^ (b/c) x d ^ (e/f) es una multiplicación cuyos factores son una potencia correspondiente a a ^ (b/c) y una potencia correspondiente a d ^ (e/f). 0 ^ (2/3) = 0 ^ (1/3) x 0 ^ (1/3) = 0 ^ (2/6) x 0 ^ (1/3) = 0 ^ (1/6) x 0 ^ (1/6) x 0 ^ (1/3) = ⁶√0 x ⁶√0 x ∛0 = ⁶√0 x (⁶√0 x ∛0) = { } x ( { } x 0) = { } x { }.
0 ^ (2/3) = 0 ^ (1/3) x 0 ^ (1/3) = 0 x 0 = conjunto de todos los números excepto cero.
Entonces { } x { } = conjunto de todos los números diferentes de cero.
c) 0 ^ (1/2) = 0 ^ (2/4) = 0 ^ (1/4) x 0 ^ (1/4) = ∜0 x ∜0 = { } x { }.
Entonces 0 ^ (1/2) = { } x { }.
0 ^ (1/2) = √0 = { }.
Entonces { } x { } = { }.
Entonces 0 ^ (1/2) = { } x { }.
0 ^ (1/2) = √0 = { }.
Entonces { } x { } = { }.
POR LO TANTO, conjunto vacío multiplicado por conjunto vacío resulta en conjunto vacío y también en todo número, INCLUIDO cero.
ATÓNITO?? Este razonamiento es solo una teoría, ya que la parte b está basada en el supuesto de que la ley asociativa es aplicable a factores que son conjunto vacío, PERO hay algo que parece respaldar a la conclusión en esa parte. En Matemática convencional, existen los llamados 'números imaginarios'. El producto de dos números reales del mismo signo es un número positivo (+2 x +3 = +6, -2 x -3 = +6), pero el producto de dos de los llamados 'números imaginarios' del mismo signo es un número negativo (+2i x +3i = -6). Entonces estos llamados 'números imaginarios' no son auténticos números o, por lo menos, no son números diferentes de cero. Por lo tanto, ¿no podrían los llamados 'números imaginarios' o, por lo menos, algunos de ellos ser manifestaciones particulares de conjunto vacío?? (Otra hipótesis que tengo hasta el momento es la de que los llamados 'números imaginarios' o, por lo menos, algunos de ellos son manifestaciones particulares de cero).
ATÓNITO?? Este razonamiento es solo una teoría, ya que la parte b está basada en el supuesto de que la ley asociativa es aplicable a factores que son conjunto vacío, PERO hay algo que parece respaldar a la conclusión en esa parte. En Matemática convencional, existen los llamados 'números imaginarios'. El producto de dos números reales del mismo signo es un número positivo (+2 x +3 = +6, -2 x -3 = +6), pero el producto de dos de los llamados 'números imaginarios' del mismo signo es un número negativo (+2i x +3i = -6). Entonces estos llamados 'números imaginarios' no son auténticos números o, por lo menos, no son números diferentes de cero. Por lo tanto, ¿no podrían los llamados 'números imaginarios' o, por lo menos, algunos de ellos ser manifestaciones particulares de conjunto vacío?? (Otra hipótesis que tengo hasta el momento es la de que los llamados 'números imaginarios' o, por lo menos, algunos de ellos son manifestaciones particulares de cero).
PARTE 3-D
Parte 3-D
Punto 8.-Sobre la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado.
IMPORTANTE: En esta parte 3-D, el símbolo que empleo para conjunto vacío es Ø.
I) aX² + bX + c = 0
→ II) X² + (b/a)X + c/a = 0
→ III) X² + (b/a)X + b²/4a² - b²/4a² + c/a = 0
→ IV) (X + b/2a)² - b²/4a² + c/a = 0
→ V) (X + b/2a)² - (b²/4a² - c/a) = (X + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a² = 0
→ VI) X + b/2a + [√(b² - 4ac)]/2a multiplicado por X + b/2a - [√(b² - 4ac)]/2a = 0
→ VII) X + [b + √(b² - 4ac)]/2a multiplicado por X + [b - √(b² - 4ac)]/2a = 0
Entonces X = [-b ± √(b² - 4ac)]/2a (PARA b² - 4ac diferente de cero).
Tener presente que Ø simboliza conjunto vacío.
Si b² - 4ac = 0 entonces X + [b + √(b² - 4ac)]/2a multiplicado por X + [b - √(b² - 4ac)]/2a es igual a X + (b + Ø)/2a multiplicado por X + (b - Ø)/2a, que es igual a (X + Ø) (X + Ø) . Así que, en la ecuación X + [b + √(b² - 4ac)]/2a multiplicado por X + [b - √(b² - 4ac)]/2a = 0 (PARA b² - 4ac = 0), y sobre la base de que conjunto vacío multiplicado por conjunto vacío resulta en todo número (además de conjunto vacío. Leer parte 3-C punto 6), X es todo número, ya que la multiplicación es siempre conjunto vacío multiplicado por conjunto vacío, que resulta en cero así como en todo otro número (con toda combinación de números para a, b y c tal que b² - 4ac = 0, X + [b + √(b² - 4ac)]/2a multiplicado por X + [b - √(b² - 4ac)]/2a no es verdaderamente equivalente a X² + (b/a)X + c/a; el primer ente matemático resulta en un número particular con X siendo un número de todo valor numérico, mientras que el segundo ente matemático resulta en un número particular con X siendo un número de solo un valor numérico o de dos valores numéricos). Así que la ecuación X + [b + √(b² - 4ac)]/2a multiplicado por X + [b - √(b² - 4ac)]/2a = 0 (PARA b² - 4ac = 0) no debería ser util para encontrar X en la ecuación aX² + bX + c = 0 y, como ecuación general, para obtener la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado para b² - 4ac = 0. Pero es posible obtener el número X indirectamente a través de un "desvío" en el razonamiento. En el punto V, hay la ecuación (X + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a² = 0. En esa ecuación, para que X sea un número, b² - 4ac (el discriminante) tiene que ser diferente de cero. Si b² - 4ac es igual a cero, X es conjunto vacío, ya que (X + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a² es igual a (X + b/2a)², y no hay número X con el que (X + b/2a)² resulte en cero, ya que no hay multiplicación de dos números iguales el uno al otro que resulte en cero (si d es un número, d x d siempre es diferente de cero). Se sabe que, en aX² + bX + c = 0, X es un número (a menos que b² - 4ac sea menor que cero), por lo tanto, si b² - 4ac es igual a cero, (X + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a² y, por lo tanto, (X + b/2a)² no siempre son iguales a X² + (b/a)X + c/a; son diferentes cuando X² + (b/a)X + c/a es igual a cero.* Por lo tanto, para resolver la ecuación aX² + bX + c = 0 (para b² - 4ac = 0), se tiene que encontrar el número que es X en la diferencia X² + (b/a)X + c/a ≠ (X + b/2a)², que es -b/2a.
POR LO TANTO, si b² - 4ac ≠ 0, X = [-b ± √(b² - 4ac)]/2a, y si b² - 4ac = 0, X = -b/2a.
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* Nótese que X² + (b/a)X + b²/4a² - b²/4a² + c/a, que es equivalente a X² + (b/a)X + c/a + b²/4a² - b²/4a², no siempre es igual a X² + (b/a)X + c/a , ya que, cuando b es igual a cero, los dos términos b²/4a² son iguales a cero multiplicado por cero, y los dos números de cada una de las infinita combinaciones de dos números en los que uno de los dos términos resulta (relación uno a uno) no siempre son iguales el uno al otro. Por ejemplo, para b = 0, b²/4a² - b²/4a², que es igual a 0 x 0 - 0 x 0, es igual a 5 - 5, (-3) - (-3), 0.73 - 0.73, etc, pero también es igual a 3 - 5, -103 - 42, √3 - 20/7, etc.
Creo que el caso de la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado puede parecer controversial, ya que ella, la fórmula, ayuda a resolver ecuaciones de ese tipo en casi todos los casos en el contexto de la Matemática convencional, pero nótese que, incluso en ese contexto, la fórmula no es util cuando a es igual a cero a menos que b y c también sean iguales a cero. Así que la fórmula X = [-b ± √(b² - 4ac)]/2a no es verdaderamente una fórmula general, incluso en el contexto de la Matemática convencional.
Expresaré otra consideración sobre la fórmula en el contexto de aquello que, para mí, es una verdad; que cero multiplicado por cero resulta en todo número excepto cero. Nótese que para a diferente de cero, b igual a cero y c diferente de cero, b² - 4ac es igual al conjunto de todos los números, y para a diferente de cero, b igual a cero y c igual a cero, b² - 4ac es igual al conjunto de todos los números EXCEPTO cero. En la ecuación aX² + bX + c = 0, para a y c diferentes de cero, o a o c menor que cero y b igual a cero, X es igual a la raíz cuadrada de -c/a (para a y c del mismo signo, lo que hay no es una ecuación, pues X no es número alguno). Para a diferente de cero, b igual a cero y c igual a cero, X es igual a cero, ya que aX² + bX + c es igual a a x 0 x 0 + 0 x 0 + 0, que es igual a 0 x 0 + 0 x 0, lo cual resulta en todo número, incluido cero (por lo tanto, como un todo, es igual al conjunto de todos los números). Para a, b y c iguales a cero, X es igual a todo número excepto cero, ya que aX² + bX + c es igual a 0 x X² + 0 x X + 0, que es igual a 0 x X, y cero por todo número, como multiplicador, diferente de cero resulta en cero. Para a igual a cero, b igual a cero, y c diferente de cero, X es igual a cero, pues aX² + bX + c es igual a 0 x X + c, lo cual resulta en todo número, incluido cero (como un todo, es igual al conjunto de todos los números). Para a igual a cero, y b y c diferentes de cero, X es igual a -c/b, ya que aX² + bX + c es igual a bX + c, y siendo X igual a -c/b, bX + c es igual a b(-c/b) + c que es igual a -c + c. En todos estos casos, X es parcialmente igual a [-b ± √(b² - 4ac)]/2a, algo similar a cuando se tiene Y = 0/0, siendo Y un solo número; en este caso, Y es igual a números de un solo valor de entre los infinitos valores numéricos que hay entre todos los números en los que 0/0 resulta. Conviene hacer notar, para lo dicho en el punto inmediatamente anterior, que, en el contexto de lo expuesto en el presente escrito, todo número diferente de cero tiene a cero y a conjunto vacío como raíces cuadradas; así, por ejemplo, el número 4 tiene como raíces cuadradas a los ya sabidos 2 y -2, y a 0 y Ø.
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